ログアウトしてもバックグラウンド ジョブを継続するときには、nohupコマンドを使います。SSH でログインしている場合は、次のようにすると、run.sh の標準出力が stdout.log へ保存され、標準エラー出力が err.log へ保存されます。なお、最後の「</dev/null」は標準入力を閉じるためのものです。SSH でログインしている場合は、3つの I/O ストリーム をリダイレクトしておきます。（参考：SSH Frequently Asked Questions）

nohup ./run.sh > stdout.log 2> stderr.log < /dev/null &